重根的特征向量怎么求

对于一个线性变换$T$和它的特征根$\lambda$，如果存在非零向量$\mathbf{v}$满足$T(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v}$，则称$\mathbf{v}$为关于特征根$\lambda$的特征向量。

当特征多项式对应特征根$\lambda$重数大于1时，称之为重根。求解重根的特征向量可以使用如下的方法：

1. 首先，找到特征根$\lambda$对应的特征子空间。对于重根，特征子空间包含所有关于特征根$\lambda$的线性无关的特征向量。

2. 在特征子空间中选择一个向量$\mathbf{v}_1$。可以任意选择向量的分量，但要保证向量线性无关。

3. 将$\mathbf{v}_1$代入到方程$T(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v}$中，得到一组新的方程。将这组方程表示为矩阵形式$[T-\lambda I]\mathbf{v}=0$，其中$I$是单位矩阵。

4. 解这个齐次方程组$[T-\lambda I]\mathbf{v}=0$，得到一组解$\mathbf{v}_2， \mathbf{v}_3， ...， \mathbf{v}_k$。这组解就是关于特征根$\lambda$的特征向量。

总的来说，求解重根的特征向量需要先找到特征子空间，然后在该特征子空间中解齐次方程组，得到特征向量集合。其中特征子空间的维数等于特征根$\lambda$的重数。

实际计算时，可以利用矩阵的特征分解，将矩阵对角化，然后再计算特征子空间中的特征向量。特征分解可以通过求解特征值和特征向量的方法得到。